数及其运算与进制转换

数及其运算与进制转换

自然数、整数、有理数、实数及其算术运算（加、减、乘、除）；进制与进制转换：二进制、八进制、十进制、十六进制。

概念

这一叶子关心数的种类与表示，而不是数论里的整除或组合计数。自然数、整数、有理数、实数各是什么范围，四则运算在什么范围内仍封闭，是选择题常考的背景知识。进制转换是另一块重点：同一数值可以用不同基数写下，二进制、八进制、十进制、十六进制之间要能互化；带下标的写法（如 $1011_2$、$D_{16}$）表示「这是几进制下的数」。与 cspj.math.number-theory 的区别在于：这里考怎么写、怎么换算，不考质因数分解或欧几里得算法；与 cspj.basics.computer-composition 相邻——位、字节是硬件单位，本叶子是数学上的进制。

CSP-J 常考

• cspj-r1-2020 第 9 题：二进制 $1011$ 化为十进制（单选）。
• cspj-r1-2021 第 7 题：带小数的二进制 $101.11$ 对应的十进制值。
• cspj-r1-2024 第 2 题：八进制减二进制再乘十六进制，求十进制结果（混合运算）。
• cspj-r1-2025 第 13 题：十进制 $720$ 与八进制 $270$ 相加，结果用十六进制表示。
• cspj-r2-2020 第 1 题（优秀的拆分）：判断 $n$ 能否拆成若干个互不相同的 $2$ 的正整数次幂之和——本质是读 $n$ 的二进制表示里哪些位为 $1$。

// 十进制 n 转为 b 进制字符串（b=2,8,16 等，digits 为各数位字符）
string toBase(int n, int b) {
    if (n == 0) return "0";
    const char* digits = "0123456789ABCDEF";
    string s;
    while (n) { s += digits[n % b]; n /= b; }
    reverse(s.begin(), s.end());
    return s;
}

易错点

• 混合进制表达式要先统一成十进制再算，不要把 $14_8$ 当成十进制的 $14$。
• 二进制小数：小数点后第 $k$ 位权值是 $2^{-k}$，不是 $2^k$。
• 十六进制字母 $A$–$F$ 大小写题面可能混用，换算时按数值 $10$–$15$ 处理。
• 完善程序里「字符转数字」常写 c - '0'，那是十进制逐位读入，与二进制位权 $2^k$ 不是同一套空位。