初等数论

整除、因数、倍数、指数、质（素）数、合数；取整；模运算与取余；整数唯一分解定理；辗转相除法（欧几里得算法）。

概念

初等数论研究整数之间的整除关系。 $a\mid b$ 表示 $b$ 是 $a$ 的倍数；因数、倍数、质数、合数、唯一分解（每个正整数写成质数乘积的方式唯一）都是基本语言。模运算与取余 % 在 C++ 里结果符号与被除数同号；取整 / 对正整数即向下取整。欧几里得算法 gcd(a,b) 反复用大数除以小数取余，直到余数为 $0$ 。与 cspj.math.sieve 的区别：数论考性质与手算（GCD、因子个数、模运算）；筛法是专门批量求 $1\sim n$ 内质数的算法实现。与 cspj.math.combinatorics 的区别：数论讲「能否整除」，组合讲「有多少种选法」。

CSP-J 常考

cspj-r1-2019 第 9 题： $100$ 以内最大的素数（单选，需知 $97$ 为质）。
cspj-r1-2020 第 13 题：干支纪年——年份对 $10$ 、 $12$ 取余映射天干地支（模运算应用）。
cspj-r1-2023 第 27–31 题：阅读程序求 $n$ 的所有因子平方和；判断完全平方因子是否重复计入、质数 $p$ 时结果是否为 $p^2+1$ 等。
cspj-r1-2021 第 29–33 题：阅读线性筛程序，判断约数个数函数 $f(n)$ 、因子和 $g(n)$ 的递推与整除性（与筛代码交织，主考点在数论函数）。
cspj-r2-2021 第 1 题（分糖果）：在 $[L,R]$ 中选 $k$ ，每次 $n$ 人各取 $1$ 块直到不足 $n$ 块，奖励为剩余 $k\bmod n$ （不是总糖果数）；求最大奖励——区间上取最大余数， $R-L\ge n-1$ 时答案为 $n-1$ 。

// 欧几里得算法：gcd(a,b)
int gcd(int a, int b) {
    while (b) { int t = a % b; a = b; b = t; }
    return a;
}
// 枚举 n 的因子（到 sqrt(n)）
int factorCount(int n) {
    int cnt = 0;
    for (int i = 1; i * i <= n; ++i)
        if (n % i == 0) cnt += (i * i == n ? 1 : 2);
    return cnt;
}

易错点

枚举因子只循环到 $\sqrt{n}$ ，完全平方数 $i=n/i$ 只计一次。
n % i == 0 时因子是 $i$ 和 $n/i$ 一对，漏加 $n/i$ 会少算。
模运算与取余：(-3) % 5 在 C++ 中是 $-3$ ，不是 $2$ ；阅读题问「余数」要看语言定义。
不要把「筛质数」的空位填进本叶子——批量标记 a[i*k] 属于 cspj.math.sieve。
「分糖果」题：反复每人拿 $1$ 块等价于每次减 $n$ ，最终剩余是 $k\bmod n$ ；题面求的是奖励（余数），不是 $k$ 本身。
$R-L<n-1$ 时不能达到 $n-1$ ，要在 $[L,R]$ 内枚举可达余数，别直接用 R % n 当答案。

$100$ 以内最大的素数是（）。

$319$ 和 $377$ 的最大公约数是（）。

阅读程序共 3 分1 道小题

整组作答后提交批改，成绩计入掌握度 · 已答 0/1

程序

#include <cstdio>#include <cstring>using namespace std;char st[100];int main() { scanf("%s", st); int n = strlen(st); for (int i = 1; i <= n; ++i) { if (n % i == 0) { char c = st[i - 1]; if (c >= 'a') st[i - 1] = c - 'a' + 'A'; } } printf("%s", st); return 0;}

20单选3 分
若输入的字符串长度为 $18$ ，那么输入的字符串跟输出的字符串相比，至多有（）个字符不同。

A
18

B
6

C
10

D
1

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程序

21单选3 分
若输入的字符串长度为（），那么输入的字符串跟输出的字符串相比，至多有 $36$ 个字符不同。

A
36

B
100000

C
1

D
128

干支纪年法是中国传统的纪年方法，由 $10$ 个天干和 $12$ 个地支组合成 $60$ 个天干地支。由公历年份可以根据以下公式和表格换算出对应的天干地支。

天干 =（公历年份）除以 $10$ 所得余数
地支 =（公历年份）除以 $12$ 所得余数

例如，今年是 $2020$ 年， $2020$ 除以 $10$ 余数为 $0$ ，查表为"庚”； $2020$ 除以 $12$ ，余数为 $4$ ，查表为“子” 所以今年是庚子年。

请问 $1949$ 年的天干地支是（）

己酉

己亥

己丑

己卯

完善程序共 3 分1 道小题

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三、完善程序（单选题，每小题 $3$ 分，共计 $30$ 分）

1.（质因数分解）给出正整数 $n$ ，请输出将 $n$ 质因数分解的结果，结果从小到大输出。

例如：输入 $n=120$ ，程序应该输出 2 2 2 3 5，表示： $120 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5$ 。输入保证 $2\le n \le 10^9$ 。

提示：先从小到大枚举变量 $i$ ，然后用 $i$ 不停试除 $n$ 来寻找所有的质因子。

试补全程序。

#include <cstdio>
using namespace std;
int n, i;

int main() {
  scanf("%d", &n);
  for(i = ①; ② <=n; i ++){
    ③{
      printf("%d ", i);
      n = n / i;
    }
  }
  if(④)
    printf("%d ", ⑤);
  return 0;
}

程序

#include <cstdio>using namespace std;int n, i;int main() { scanf("%d", &n); for(i = ①; ② <=n; i ++){ ③{ printf("%d ", i); n = n / i; } } if(④) printf("%d ", ⑤); return 0;}

35（②）单选空位 ②3 分
②处应填（）

A
n/i

B
n/(i*i)

C
i*i

D
i*i*i

完善程序共 3 分1 道小题

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三、完善程序（单选题，每小题 $3$ 分，共计 $30$ 分）

1.（质因数分解）给出正整数 $n$ ，请输出将 $n$ 质因数分解的结果，结果从小到大输出。

例如：输入 $n=120$ ，程序应该输出 2 2 2 3 5，表示： $120 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5$ 。输入保证 $2\le n \le 10^9$ 。

提示：先从小到大枚举变量 $i$ ，然后用 $i$ 不停试除 $n$ 来寻找所有的质因子。

试补全程序。

#include <cstdio>
using namespace std;
int n, i;

int main() {
  scanf("%d", &n);
  for(i = ①; ② <=n; i ++){
    ③{
      printf("%d ", i);
      n = n / i;
    }
  }
  if(④)
    printf("%d ", ⑤);
  return 0;
}

程序

37（④）单选空位 ④3 分
④处应填（）

A
n>1

B
n<=1

C
i<n/i

D
i+i<=n

完善程序共 3 分1 道小题

整组作答后提交批改，成绩计入掌握度 · 已答 0/1

三、完善程序（单选题，每小题 $3$ 分，共计 $30$ 分）

1.（质因数分解）给出正整数 $n$ ，请输出将 $n$ 质因数分解的结果，结果从小到大输出。

例如：输入 $n=120$ ，程序应该输出 2 2 2 3 5，表示： $120 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5$ 。输入保证 $2\le n \le 10^9$ 。

提示：先从小到大枚举变量 $i$ ，然后用 $i$ 不停试除 $n$ 来寻找所有的质因子。

试补全程序。

#include <cstdio>
using namespace std;
int n, i;

int main() {
  scanf("%d", &n);
  for(i = ①; ② <=n; i ++){
    ③{
      printf("%d ", i);
      n = n / i;
    }
  }
  if(④)
    printf("%d ", ⑤);
  return 0;
}

程序

38（⑤）单选空位 ⑤3 分
⑤处应填（ )

A
2

B
n/i

C
n

D
i

阅读程序共 2 分1 道小题

整组作答后提交批改，成绩计入掌握度 · 已答 0/1

原卷作答说明：判断题正确填 √，错误填 ×

程序

#include <iostream>using namespace std;const int n = 100000;const int N = n + 1;int m;int a[N], b[N], c[N], d[N];int f[N], g[N];void init(){ f[1] = g[1] = 1; for (int i = 2; i <= n; i++) { if (!a[i]) { b[m++] = i; c[i] = 1, f[i] = 2; d[i] = 1, g[i] = i + 1; } for (int j = 0; j < m && b[j] * i <= n; j++) { int k = b[j]; a[i * k] = 1; if (i % k == 0) { c[i * k] = c[i] + 1; f[i * k] = f[i] / c[i * k] * (c[i * k] + 1); d[i * k] = d[i]; g[i * k] = g[i] * k + d[i]; break; } else { c[i * k] = 1; f[i * k] = 2 * f[i]; d[i * k] = g[i]; g[i * k] = g[i] * (k + 1); } } }}int main(){ init(); int x; cin >> x; cout << f[x] << ' ' << g[x] << endl; return 0;}

29判断2 分
（2 分）第 25 行的 f[i] / c[i * k]可能存在无法整除而向下取整的情况。（）

阅读程序共 2 分1 道小题

整组作答后提交批改，成绩计入掌握度 · 已答 0/1

原卷作答说明：判断题正确填 √，错误填 ×

程序

30判断2 分
（2 分）在执行完 init() 后，f 数组不是单调递增的，但 g 数组是单调递增的。（）

阅读程序共 3 分1 道小题

整组作答后提交批改，成绩计入掌握度 · 已答 0/1

程序

32单选3 分
在执行完 init() 后， $f[1], f[2], f[3] \dots f[100]$ 中有（）个等于 2。

A
23

B
24

C
25

D
26

阅读程序共 4 分1 道小题

整组作答后提交批改，成绩计入掌握度 · 已答 0/1

程序

33单选4 分
（4 分）当输入为 $\texttt{1000}$ 时，输出为（）。

A
15 1340

B
15 2340

C
16 2340

D
16 1340

编程题

分糖果

C++时间 1 s内存 512 MB 文件 IO：candy.in → candy.out

红太阳幼儿园的小朋友们开始分糖果啦！

红太阳幼儿园有 $n$ 个小朋友，你是其中之一。保证 $n \ge 2$ 。

有一天你在幼儿园的后花园里发现无穷多颗糖果，你打算拿一些糖果回去分给幼儿园的小朋友们。

由于你只是个平平无奇的幼儿园小朋友，所以你的体力有限，至多只能拿 $R$ 块糖回去。

但是拿的太少不够分的，所以你至少要拿 $L$ 块糖回去。保证 $n \le L \le R$ 。

也就是说，如果你拿了 $k$ 块糖，那么你需要保证 $L \le k \le R$ 。

如果你拿了 $k$ 块糖，你将把这 $k$ 块糖放到篮子里，并要求大家按照如下方案分糖果：只要篮子里有不少于 $n$ 块糖果，幼儿园的所有 $n$ 个小朋友（包括你自己）都从篮子中拿走恰好一块糖，直到篮子里的糖数量少于 $n$ 块。此时篮子里剩余的糖果均归你所有——这些糖果是作为你搬糖果的奖励。

作为幼儿园高质量小朋友，你希望让作为你搬糖果的奖励的糖果数量（而不是你最后获得的总糖果数量！）尽可能多；因此你需要写一个程序，依次输入 $n, L, R$ ，并输出你最多能获得多少作为你搬糖果的奖励的糖果数量。

输入格式

从文件 candy.in 中读入数据。

输入一行，包含三个正整数 $n, L, R$ ，分别表示小朋友的个数、糖果数量的下界和上界。

输出格式

输出到文件 candy.out 中。

输出一行一个整数，表示你最多能获得的作为你搬糖果的奖励的糖果数量。

样例

输入 1

7 16 23

输出 1

拿 $k = 20$ 块糖放入篮子里。

篮子里现在糖果数 $20 \ge n = 7$ ，因此所有小朋友获得一块糖；

篮子里现在糖果数变成 $13 \ge n = 7$ ，因此所有小朋友获得一块糖；

篮子里现在糖果数变成 $6 < n = 7$ ，因此这 $6$ 块糖是作为你搬糖果的奖励。

容易发现，你获得的作为你搬糖果的奖励的糖果数量不可能超过 $6$ 块（不然，篮子里的糖果数量最后仍然不少于 $n$ ，需要继续每个小朋友拿一块），因此答案是 $6$ 。

输入 2

10 14 18

输出 2

容易发现，当你拿的糖数量 $k$ 满足 $14 = L \le k \le R = 18$ 时，所有小朋友获得一块糖后，剩下的 $k - 10$ 块糖总是作为你搬糖果的奖励的糖果数量，因此拿 $k = 18$ 块是最优解，答案是 $8$ 。

数据范围

对于所有测试数据，保证：

$2 \le n \le L \le R \le 10^9$ 。

测试点	$n \le$	$R \le$	$R - L \le$
$1$	$2$	$5$	$5$
$2$	$5$	$10$	$10$
$3$	$10^3$	$10^3$	$10^3$
$4$	$10^5$	$10^5$	$10^5$
$5$	$10^3$	$10^9$	$0$
$6$	$10^3$	$10^9$	$10^3$
$7 \sim 8$	$10^5$	$10^9$	$10^5$
$9 \sim 10$	$10^9$	$10^9$	$10^9$

部分分

10 分
测试点 $1$ ： $n \le 2$ ， $R \le 5$ ， $R - L \le 5$ 。
10 分
测试点 $2$ ： $n \le 5$ ， $R \le 10$ ， $R - L \le 10$ 。
10 分
测试点 $3$ ： $n \le 10^3$ ， $R \le 10^3$ ， $R - L \le 10^3$ 。
10 分
测试点 $4$ ： $n \le 10^5$ ， $R \le 10^5$ ， $R - L \le 10^5$ 。
10 分
测试点 $5$ ： $n \le 10^3$ ， $R \le 10^9$ ， $R - L = 0$ 。
10 分
测试点 $6$ ： $n \le 10^3$ ， $R \le 10^9$ ， $R - L \le 10^3$ 。
10 分
测试点 $7$ ： $n \le 10^5$ ， $R \le 10^9$ ， $R - L \le 10^5$ 。
10 分
测试点 $8$ ： $n \le 10^5$ ， $R \le 10^9$ ， $R - L \le 10^5$ 。
10 分
测试点 $9$ ： $n \le 10^9$ ， $R \le 10^9$ ， $R - L \le 10^9$ 。
10 分
测试点 $10$ ： $n \le 10^9$ ， $R \le 10^9$ ， $R - L \le 10^9$ 。

你的代码（C++）

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判题结果

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（1）（枚举因数）从小到大打印正整数 $n$ 的所有正因数。

试补全枚举程序。

程序

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;int main(){ int n; cin >> n; vector<int> fac; fac.reserve((int)ceil(sqrt(n))); int i; for (i = 1; i * i < n; ++i){ if (①){ fac.push_back(i); } } for (int k = 0; k < fac.size(); ++k){ cout << ② << ""; } if (③) { cout << ④ << ""; } for (int k = fac.size() - 1; k >= 0; --k){ cout << ⑤ << ""; }}

35（①）单选空位 ①3 分
if (①){

A
n % i == 0

B
n % i == 1

C
n % (i-1) == 0

D
n % (i-1) == 1

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（1）（枚举因数）从小到大打印正整数 $n$ 的所有正因数。

试补全枚举程序。

程序

37（③）单选空位 ③3 分
if (③) {

A
(i-1)*(i-1)== n

B
(i-1)*i == n

C
i*i == n

D
i*(i-1) == n

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（1）（枚举因数）从小到大打印正整数 $n$ 的所有正因数。

试补全枚举程序。

程序

38（④）单选空位 ④3 分
cout << ④ << "";

A
n-i

B
n-i+1

C
i-1

D
i

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（1）（枚举因数）从小到大打印正整数 $n$ 的所有正因数。

试补全枚举程序。

程序

39（⑤）单选空位 ⑤3 分
cout << ⑤ << "";

A
n / fac[k]

B
fac[k]

C
fac[k]-1

D
n / (fac[k]-1)

编程题

解密

C++时间 1 s内存 512 MB 文件 IO：decode.in → decode.out

给定一个正整数 $k$ ，有 $k$ 次询问，每次给定三个正整数 $n_i, e_i, d_i$ ，求两个正整数 $p_i, q_i$ ，使 $n_i = p_i \times q_i$ 、 $e_i \times d_i = (p_i - 1)(q_i - 1) + 1$ 。

输入格式

从文件 decode.in 中读入数据。

第一行一个正整数 $k$ ，表示有 $k$ 次询问。

接下来 $k$ 行，第 $i$ 行三个正整数 $n_i, d_i, e_i$ 。

输出格式

输出到文件 decode.out 中。

输出 $k$ 行，每行两个正整数 $p_i, q_i$ 表示答案。

为使输出统一，你应当保证 $p_i \leq q_i$ 。

如果无解，请输出 NO。

样例

输入 1

输出 1

2 385
NO
NO
NO
11 78
3 241
2 286
NO
NO
6 88

数据范围

以下记 $m = n - e \times d + 2$ 。

保证对于 $100\%$ 的数据， $1 \le k \le 10^5$ ，对于任意的 $1 \le i \le k$ ， $1 \le n_i \le 10^{18}$ ， $1 \le e_i \times d_i \le 10^{18}$ ， $1 \le m \le 10^9$ 。

测试点编号	$k \le$	$n \le$	$m \le$	特殊性质
$1$	$10^3$	$10^3$	$10^3$	保证有解
$2$	$10^3$	$10^3$	$10^3$	无
$3$	$10^3$	$10^9$	$6 \times 10^4$	保证有解
$4$	$10^3$	$10^9$	$6 \times 10^4$	无
$5$	$10^3$	$10^9$	$10^9$	保证有解
$6$	$10^3$	$10^9$	$10^9$	无
$7$	$10^5$	$10^{18}$	$10^9$	保证若有解则 $p = q$
$8$	$10^5$	$10^{18}$	$10^9$	保证有解
$9$	$10^5$	$10^{18}$	$10^9$	无
$10$	$10^5$	$10^{18}$	$10^9$	无

部分分

10 分
测试点 $1$ ： $k \le 10^3$ ， $n \le 10^3$ ， $m \le 10^3$ ，保证有解。
10 分
测试点 $2$ ： $k \le 10^3$ ， $n \le 10^3$ ， $m \le 10^3$ ，无特殊性质。
10 分
测试点 $3$ ： $k \le 10^3$ ， $n \le 10^9$ ， $m \le 6 \times 10^4$ ，保证有解。
10 分
测试点 $4$ ： $k \le 10^3$ ， $n \le 10^9$ ， $m \le 6 \times 10^4$ ，无特殊性质。
10 分
测试点 $5$ ： $k \le 10^3$ ， $n \le 10^9$ ， $m \le 10^9$ ，保证有解。
10 分
测试点 $6$ ： $k \le 10^3$ ， $n \le 10^9$ ， $m \le 10^9$ ，无特殊性质。
10 分
测试点 $7$ ： $k \le 10^5$ ， $n \le 10^{18}$ ， $m \le 10^9$ ，保证若有解则 $p = q$ 。
10 分
测试点 $8$ ： $k \le 10^5$ ， $n \le 10^{18}$ ， $m \le 10^9$ ，保证有解。
10 分
测试点 $9$ ： $k \le 10^5$ ， $n \le 10^{18}$ ， $m \le 10^9$ ，无特殊性质。
10 分
测试点 $10$ ： $k \le 10^5$ ， $n \le 10^{18}$ ， $m \le 10^9$ ，无特殊性质。

你的代码（C++）

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判题结果

阅读程序共 1.5 分1 道小题

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程序

#include <iostream>#include <cmath>using namespace std;int solve1(int n){ return n*n;}int solve2(int n){ int sum=0; for(int i=1;i<=sqrt(n);i++){ if(n%i==0){ if(n/i==i){ sum+=i*i; }else{ sum+=i*i+(n/i)*(n/i); } } } return sum;}int main(){ int n; cin>>n; cout<<solve2(solve1(n))<<" "<<solve1((solve2(n)))<<endl; return 0;}

27判断1.5 分
如果输入的 $n$ 为正整数，solve2 函数的作用是计算 $n$ 所有的因子的平方和（）

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程序

28判断1.5 分
第 $13\sim 14$ 行的作用是避免 $n$ 的平方根因子 $i$ （或 $n/i$ ）进入第 $16$ 行而被计算两次（）

阅读程序共 1.5 分1 道小题

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程序

29判断1.5 分
如果输入的 $n$ 为质数，solve2(n) 的返回值为 $n^2+1$ （）

阅读程序共 4 分1 道小题

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程序

30单选4 分
单选题
1. （4分）如果输入的 $n$ 为质数 $p$ 的平方，那么 solve2(n) 的返回值为（）
A
$p^2+p+1$

B
$n^2+n+1$

C
$n^2+1$

D
$p^4+2p^2+1$

阅读程序共 3 分1 道小题

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程序

31单选3 分
当输入为正整数时，第一项减去第二项的差值一定（）

A
大于 $0$

B
大于等于 $0$ 且不一定大于 $0$

C
小于 $0$

D
小于等于 $0$ 且不一定小于 $0$

阅读程序共 1.5 分1 道小题

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原卷作答说明：判断题正确填 √，错误填 ×

程序

#include <iostream>using namespace std;bool isPrime(int n) { if (n <= 1) { return false; } for (int i = 2; i * i <= n; i++) { if (n % i == 0) { return false; } } return true;}int countPrimes(int n) { int count = 0; for (int i = 2; i <= n; i++) { if (isPrime(i)) { count++; } } return count;}int sumPrimes(int n) { int sum = 0; for (int i = 2; i <= n; i++) { if (isPrime(i)) { sum += i; } } return sum;}int main() { int x; cin >> x; cout << countPrimes(x) << " " << sumPrimes(x) << endl; return 0;}

17判断1.5 分
若将 isPrime(i) 函数中的条件改为 i<=n/2，输入 $20$ 时， countPrimes(20) 的输出将变为 $6$ 。（）

阅读程序共 1.5 分1 道小题

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原卷作答说明：判断题正确填 √，错误填 ×

程序

18判断1.5 分
sumPrimes 函数计算的是从 $2$ 到 $n$ 之间的所有素数之和。

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原卷作答说明：判断题正确填 A，错误填 B

程序

#include <algorithm>#include <cstdio>#include <cstring>inline int gcd(int a, int b) { if (b == 0) return a; return gcd(b, a % b);}int main() { int n; scanf("%d", &n); int ans = 0; for (int i = 1; i <= n; ++i) { for (int j = i + 1; j <= n; ++j) { for (int k = j + 1; k <= n; ++k) { if (gcd(i, j) == 1 && gcd(j, k) == 1 && gcd(i, k) == 1) { ++ans; } } } } printf("%d\n", ans); return 0;}

17判断1.5 分
将第 $16$ 行中的 && gcd(i,k)==1 删去不会影响程序运行结果。（）

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程序

21单选3 分
调用 $\gcd(36, 42)$ 会返回（）。

A
$6$

B
$252$

C
$3$

D
$2$

初等数论

初等数论

输入格式

输出格式

样例

数据范围

部分分

你的代码（C++）

判题结果

（1）（枚举因数）从小到大打印正整数 nnn 的所有正因数。

（1）（枚举因数）从小到大打印正整数 nnn 的所有正因数。

（1）（枚举因数）从小到大打印正整数 nnn 的所有正因数。

（1）（枚举因数）从小到大打印正整数 nnn 的所有正因数。

输入格式

输出格式

样例

数据范围

部分分

你的代码（C++）

判题结果

单选题

（1）（枚举因数）从小到大打印正整数 $n$ 的所有正因数。

（1）（枚举因数）从小到大打印正整数 $n$ 的所有正因数。

（1）（枚举因数）从小到大打印正整数 $n$ 的所有正因数。

（1）（枚举因数）从小到大打印正整数 $n$ 的所有正因数。