二进制与十进制互转

掌握数据的进制转换：二进制、十进制。

进制描述「每一位的权」。十进制权是 (10^k)，二进制权是 (2^k)。十进制转二进制：不断除以 2 取余，余数从下往上读，得到从低位到高位再反转后的比特串。二进制转十进制：把各位乘上对应的 (2^k) 再相加。C++ 字面量里可用 0b 写二进制（C++14 起常见于题解；认证标准以 C++11 为准，客观题仍以手算为主）。bitset 或循环取模都能完成互转，但三级先要求你会手算小整数。

三级单选、判断几乎每场都会出现互转：给 1101 求十进制，或给 25 求二进制。编程题里常见「读入十进制，按位拆出 0/1」或「把二进制串当成字符串再还原成整数」。认证标准规定考试时长为 120 分钟，手算时先写权值表（1、2、4、8、16…）再对位，比心算更稳。

int toDec(const string& bits) {
    int n = 0;
    for (char c : bits) n = n * 2 + (c - '0');
    return n;
}
string toBin(int n) {
    if (n == 0) return "0";
    string s;
    while (n) { s.push_back(char('0' + n % 2)); n /= 2; }
    reverse(s.begin(), s.end());
    return s;
}

余数顺序不要颠倒：先得到的余数是最低位，最后才写到最右边。

二进制数 $11.01$ 在十进制下是（）。

$3.01$

$3.05$

$3.125$

$3.25$

下列关于进制的叙述，不正确的是（）。

正整数的二进制表示中只会出现 $0$ 和 $1$ 。

$10$ 不是 $2$ 的整数次幂，所以十进制数无法转换为二进制数。

从二进制转换为 $8$ 进制时，可以很方便地由低到高将每 $3$ 位二进制位转换为对应的一位 $8$ 进制位。

从二进制转换为 $16$ 进制时，可以很方便地由低到高将每 $4$ 位二进制位转换为对应的一位 $16$ 进制位。

计算机中存储的数据都是二进制形式。因此，在使用 C++ 语言编写程序时，将所有十进制数改写为相同数值的二进制数，会使得程序运行效率更高。

√（正确）

×（错误）

下列关于进制的叙述，正确的是（）。

只有十进制和二进制能够用来表示小数，八进制和十六进制不可以。

常用的进制包括二进制、八进制、十进制、十六进制，其他进制在日常生活中很少使用。

对任意正整数，其二进制表示不会比它的十进制表示更短。

正整数的八进制表示中，每一位可能出现的最大数字是 8。

二进制数 $101.101$ 在十进制下是 $5.005$ 。

√（正确）

×（错误）

二进制数 $101.11$ 对应的十进制数是（）。

$6.5$

$5.5$

$5.75$

$5.25$

0.8125 变成二进制是（）。

0.1110

0.1 1111 1011 1101

0.1 1111 1011 1100

0.1101

$625.625$ 变成二进制是（）。

$1001110001.101$

$101.101$

$101.1001110001$

$1001110001.1101$

10 进制数 63，在转换成二进制的计算过程中，产生了如下的式子：

1  63/2=31 余 1
2  31/2=15 余 1
3  15/2=7  余 1
4  7/2=3   余 1
5  3/2=1   余 1
6  1/2=0   余 1

按照从前往后的顺序，获得 63 的二进制值是 111111

√（正确）

×（错误）

UTF-8 编码规则如下：

1 字节：0xxxxxxx

2 字节：110xxxxx 10xxxxxx

3 字节：1110xxxx 10xxxxxx 10xxxxxx

4 字节：11110xxx 10xxxxxx 10xxxxxx 10xxxxxx

以下哪个字节序列是合法的 UTF-8 编码（）

0xC0 0x80

0xF0 0x90 0x80 0x80

0x80 0x80 0x80

0xFF 0xFE 0xFD

十进制数 $111.111$ 的二进制表示可以是下面的（）。

1101111.0001110001

1101110.1001110001

1101111.1001110001

1101111.0011110001

若将一个正整数化为二进制数，在此二进制数中，我们将数字 1 的个数是偶数的这类二进制数称为 A 类数，否则就称其为 B 类数。

例如：

$ (13)_{10} = (1101)_2 $，其中 1 的个数为 3，则称此数为 B 类数；
$ (10)_{10} = (1010)_2 $，其中 1 的个数为 2，称此数为 A 类数；

判断 $ (2025)_{10} $ 化为二进制后，1 的个数为偶数个，因此 2025 为 A 类数。

√（正确）

×（错误）

该段程序将 $ n $ 不停地除以 2，并输出此时的商和余数，直到 $ n = 0 $ 为止。

long long n;
cin >> n;
while(n != 0) {
    cout << n/2 << ' ' << n%2 << '\n';
    n /= 2;
}

√（正确）

×（错误）

二进制数 $1101.101$ 对应的十进制数是（）

13.625

12.75

11.875

14.5

请将二进制数 $(1101.101)_2$ ，转换为等值的 $10$ 进制数（）。

$14.25$

$13.625$

$13.5$

$14.5$

三进制数 $2102_{(3)}$ 转换成十进制是：（）。

$63$

$65$

$67$

$69$

编程题

二进制回文串

C++时间 1 s内存 512 MB标准输入输出

对于一个正整数 $n$ ，我们将其转换为不含前导零的二进制表示，如果这个二进制序列从左向右读与从右向左读完全相同，则称该数为二进制回文数。例如， $9$ 的二进制表示为 $(1001)_2$ ，是二进制回文数； $12$ 的二进制表示为 $(1100)_2$ ，不是二进制回文数。

你的任务是：给定一个正整数 $n$ ，计算在 $1$ 到 $n$ 的范围内二进制回文数的数量。

输入格式

输入一行，包含一个正整数 $n$ 。

输出格式

输出一行，包含一个数，表示在 $1$ 到 $n$ 的范围内二进制回文数的数量。

样例

输入 1

输出 1

样例 1 中， $1$ 到 $15$ 范围内 $1$ 、 $3$ 、 $5$ 、 $7$ 、 $9$ 、 $15$ 是二进制回文数。

数据范围

$1 \leq n \leq 10^5$ 。

你的代码（C++）

提交后由评测机编译运行，结果见下方

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判题结果

计算机厂商为了计算方便，一般采用 $1000$ 进制。如果我们买的厂商标注的是 $1\ \mathrm{TB}$ 的硬盘，它实际的存储容量是（）。

$1000 \times 1000 \times 1000 \times 1000 \div 1024 \div 1024 \div 1024\text{b} = 931\text{Gb}$

$1000 \times 1000 \times 1000 \times 1000 \div 1024 \div 1024 \div 1024\text{B} = 931\text{GB}$

$1024 \times 1024 \times 1024 \times 1024 \div 1000 \div 1000 \div 1024\text{B} = 1049\text{GB}$

$1000 \times 1024 \times 1024 \times 1024 \div 1024 \div 1024 \div 1024\text{b} = 977\text{Gb}$

计算机中的 $2\ \mathrm{KB}$ 等于多少 bit（）。

$16384$

$20000$

$2000$

$2048$